Wat doen wiskundigen als ze uitgekeken raken op een deelgebied van hun vak? Dan verschuiven ze hun aandacht naar een ander deelgebied of ze verzinnen iets nieuws en gaan op dat nieuwe gebied aan de slag. En wat doen wij schakers? Wel, min of meer hetzelfde. Wij bestuderen een andere opening, bekijken een eindspel of verzinnen iets nieuws: we voegen nieuwe stukken aan het spel toe, verzinnen nieuwe spelregels, vergroten het schaakbord, etc.. Sommigen, wijlen Henk Breugem van Promotie en Hans Bodlaender van chessvariants.org bijvoorbeeld, schopten het op dit laatste vlak tot grootmeester. Een enkele keer lukt het om zo een verrassend nieuw inzicht aan het schaakspel toe te voegen, zoals het inzicht dat we vrij eenvoudig het getal van Euler (e = 2.718281828….) op een schaakbord kunnen construeren.
Tot ver in de middeleeuwen was de constante van Archimedes pi (π = 3.14159265…) verreweg de belangrijkste wiskundige constante op grote afstand gevolgd door de wortel uit twee (√2 = 1.41421356…). Vandaag de dag moet pi echter genoegen nemen met de tweede plaats op de lijst van beroemde constanten. In de loop der eeuwen is pi overvleugeld door het getal van Euler (Duits: die Eulersche Zahl; e = 2.718281828…). Sinds de dagen van Newton speelt dit getal in de wis- en natuurkunde een extreem belangrijke rol. De kennismaking met Euler’s getal verloopt gewoonlijk via de zogenaamde hogere wiskunde en niet iedereen zal daar op school aan toe gekomen zijn zodat ik vermoed dat menigeen op dit moment voor het eerst van Euler’s getal hoort. Gelukkig is het mogelijk om via een simpeler weg met het getal van Euler kennis te maken. Daarvoor hebben we een schaakbord en wat schaakstukken nodig.
Voor onze kennismaking met het getal van Euler gebruiken we een schaakbord waarop we achtereenvolgens een, twee (het linker diagram), drie, vier (het middelste diagram), vijf, zes, zeven, acht (het rechter diagram), etc., verschillende stukken plaatsen. Tot vijf stukken kunnen we uit met koning, toren, paard, loper en dame maar daarna hebben we extra stukken nodig. Op het bord met acht stukken verschijnen de sprinkhaan (de omgekeerde dame), de nachtruiter (het omgekeerde paard) en de aartsbisschop (de omgekeerde loper). Informatie over deze drie extra stukken, uit de ‘Oxford Companion to Chess’ (1992) van Hooper en Whyld, is aan het slot van dit artikel te vinden. Zie verder voor informatie ook de piececlopedia op chessvariants.org.
Om een goede benadering van Euler’s getal te verkrijgen moeten we voor elk schaakbord steeds twee vragen beantwoorden. Ik zal deze vragen voor het middelste schaakbord waarop vier stukken staan beantwoorden. De eerste vraag is hoeveel onderling verschillende opstellingen zijn er met de vier witte stukken op de eerste rij mogelijk? Het antwoord op deze vraag is 4x3x2x1 = 24 = 4!; spreek uit vier faculteit. U kunt dit antwoord zelf eenvoudig controleren door alle opstellingen met vier stukken onder elkaar te zetten. De faculteit, het uitroepteken, is de verkorte schrijfwijze voor het product van de gehele getallen vanaf 1 tot en met het genoemde getal. Zo is 5! = 1x2x3x4x5 = 120, 6! = 6×5! = 720, 7! = 5040 en 8! = 40320.
De tweede vraag is hoeveel opstellingen zijn er mogelijk waarbij de zwarte stukken allemaal op een andere plek staan dan de identieke witte stukken, d.w.z. de zwarte toren staan niet tegenover de witte toren, etc.? Voor het schaakbord met vier stukken zijn er negen opstellingen die aan deze eis voldoen. Stel de witte opstelling is TPLK dan zijn dit voor zwart de opstellingen PTKL, PLKT, PKTL, LTKP, LKTP, LKPT, KTPL, KLTP en KLPT; elke andere witte beginopstelling leidt tot hetzelfde resultaat. De kans op volledig verschillende witte en zwarte opstellingen is dan p(4) = 9/24, namelijk 9 van de 24 mogelijke opstellingen.
Met dezelfde methode kunnen we de kans op verschillende opstellingen op de andere borden bepalen p(1 stuk) = 0, p(2 stukken; het linker diagram) = 1/2, p(3) = 2/6 en p(4) = 9/24. Een wiskundige zal op dit moment trachten te achterhalen of de kansen p(n) een eenvoudige structuur hebben. Dat blijkt het geval te zijn: p(1) = 1-1, p(2) = 1-1+1/2!, p(3) = 1-1+1/2!-1/3! en p(4) = 1-1+1/2!-1/3!+1/4!. We vinden dan voor p(5) = 1-1+1/2!-1/3!+1/4!-1/5! = 44/120, p(6) = 265/720, p(7) = 1854/5040 en p(8; het rechter diagram) = 1-1+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+1/6!-1/7!+1/8! = 14833/40320 = 0.36788194. Zo op het eerste gezicht lijkt dit laatste getal in de verste verte niet op het getal van Euler. Dat klopt. Als we echter de inverse waarde van p(8) uitrekenen, d.w.z. 1/0.36788194 = 2.71826336, dan vinden we een getal dat bijna gelijk is aan e = 2.718281828… . Met elk extra stuk wordt de benadering van Euler’s getal nauwkeuriger zoals eenvoudig is na te gaan. De getallen {0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, …} die we boven vonden staan zeer toepasselijk bekend als de ‘wanorde getallen’ (Engels: derangement numbers). De wanorde van deze zwarte opstellingen ten opzichte van de witte opstelling is namelijk totaal.
Eerder vond ik al een elegante manier om de wortel van twee op het schaakbord te construeren zodat ik op dit moment in staat ben om twee van de drie beroemdste constanten met behulp van schaakbord en schaakstukken te construeren. Ik ben nog op zoek naar een constructie voor pi. Voor de eerste aansprekende constructie van de constante van Archimedes op het schaakbord met behulp van schaakstukken loof ik bij deze, naar goed wiskundig gebruik, twintig euro uit!
——————————————————————————————————————-
Sprinkhaan (Engels: Grasshopper – T.R. Dawson, 1913; symbool de omgekeerde dame)
De sprinkhaan kan over elke verticale, horizontale of diagonale afstand op het veld vlak achter een wit of zwart stuk neergezet worden of op dat veld een vijandelijk stuk slaan; dit stuk mag niet verzet worden tenzij het hupt, noch mag het over meer dan een stuk huppen.
Nachtruiter (Engels: Nightrider – W.S. Andrews, 1907; symbool het omgekeerde paard)
De nachtruiter kan, in een zet, één of meer paardsprongen in een rechte lijn maken. Alle velden waarop dit schaakstuk tijdens zijn reis neerstrijkt moeten vrij zijn behalve het laatste. Op een verder leeg bord kan dit stuk van a1 naar c2, e3, of g4, of via een andere lijn, naar b3, c5 of d7.
Aartsbisschop (Engels: Archbishop, reflecting bishop – G. Dobbs, 1937)
De aartsbisschop of reflecterende loper is een stuk dat als een loper verzet wordt maar het mag bovendien via de zijkanten van het bord kaatsen. Een reflecterende loper op c3 kan bijvoorbeeld in één zet, als dit stuk niet gehinderd wordt, via a5, d8, h4 en e1 terug naar c3.