Wat heb je vandaag op school gedaan, Jantje? Nou mam, we hebben geteld hoeveel verschillende schaakpartijen er bestaan waarbij zwart op de derde zet mat gaat. Mams mond valt open. Ze weet genoeg en het volgend seizoen zit Jantje op een andere school.
Nu is mij ter ore gekomen dat enkele volwassen kerels zich onlangs met precies dit kinderachtige probleem hebben beziggehouden. Twee van hen zijn al op leeftijd en het is dus oppassen geblazen. Voor je het weet hebben zij begripvolle verpleging nodig, kraaiend in de luiers achter een telraam.
Neen, wie zichzelf wil vermaken door schaken en tellen met elkaar te verbinden moet dat natuurlijk doen door een probleempje aan te pakken waarbij iets meer intelligentie vereist is. Zulke problemen bestaan en niemand minder dan de meest productieve wiskundige uit de achttiende eeuw heeft er enkele geformuleerd.
Het begon in hogere zin met een notitie van Leonhard Euler uit 1735. “In Koningsbergen in Pruisen is een eiland….en de rivier die daaromheen stroomt splitst zich in twee. Over de armen van de rivier liggen zeven bruggen. Nu werd gevraagd of iemand zijn wandeling zo kan inrichten dat hij ieder van deze bruggen één keer en niet meer dan één keer oversteekt….. Hieruit kwam ik tot het volgende hoogst algemene probleem: hoe ook de vorm van de rivier en zijn verdeling van armen en hoeveel bruggen er ook zijn, vindt of het mogelijk is om elke brug precies eenmaal over te steken of niet.” Dit probleem heeft niets met het schaakbord van doen…en toch is het een goede inleiding op wat volgt.
Euler bezat in 1751 een kopie van Philidors boek “Analyse du jeu des échecs”, dat twee jaar eerder zijn eerste druk had beleefd. Verder blijkt uit een brief uit datzelfde jaar dat Euler de beroemde schaker, die toen het hof van Frederik de Grote bezocht, graag wilde ontmoeten. Helaas moest Philidor wegens een akkefietje met een heetgebakerde Pruisische officier hals over kop afreizen en van een ontmoeting tussen de heren is niets bekend. Een ding lijkt uit het voorgaande wel duidelijk: Euler had wat met het schaakspel. Het schaakbord wordt bij hem uitgangspunt van enkele recreatieve problemen van niet-triviale aard. Hij publiceert er in 1759 zelfs een verhandeling over. Centraal staat een probleem dat, naar ik vermoed, in een Berlijns koffiehuis in het zicht van een schaakbord werd opgeworpen. Euler was getuige. Kun je met een paard, vanuit een willekeurig veld, een toertje over het schaakbord maken, waarbij alle velden precies één keer worden aangedaan? Na enkele leden van het aanwezige gezelschap een tijdje te hebben laten aanmodderen, laat de steller van het probleem een oplossing zien. Intellectuele duizendpoot Euler kijkt toe, raakt kennelijk geïnteresseerd, bestudeert het thuis en ontwerpt een methodische aanpak. Hij kijkt ook meteen maar hoe de zaken liggen bij onorthodoxe schaakborden, waaronder de elegante formaatjes 3×5 en 3×7. Sommige van zijn resultaten zijn redelijk verrassend. Op het 3×7-bord blijkt bijvoorbeeld geen gesloten toertje mogelijk.
Bij deze problemen gaat het om eenmalige bezoekjes van velden, bij het Koningsberger bruggen-probleem, dat eerder al de aandacht van de grote mathematicus had getrokken, gaat het om eenmalige oversteekjes. Dat is beslist niet hetzelfde, maar beide problemen behoren natuurlijk wel tot dezelfde tak van wiskunde, de grafentheorie. Met een f. Dus dat u niet denkt dat dit een morbide theorie is…
Probleem: Gegeven is een 3×5-bord. We zeggen dat een paardensprong tussen de velden x en y is uitgevoerd als een paard van x naar y is gesprongen of omgekeerd. U zet ergens op het bord een paard neer. Kunt u met dit paard een toertje maken waarbij iedere op dit bord mogelijke paardensprong precies eenmaal wordt uitgevoerd? Voor alle duidelijkheid: het hoeft geen gesloten toertje te zijn. Veel plezier!